समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1
समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.2
प्रश्न 1. निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P. का प्रथम पद a, सार्वान्तर d और n वाँ पद an है:
प्रश्न 2. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए :
(i) A.P.: 10, 7, 4,……, का 30 वाँ पद है :
(A) 97
(B) 77
(C) -77
(D) -87
(ii) A.P.: -3, −12, 2,….. का 11 वाँ पद है :
(A) 28
(B) 22
(C) -38
(D) -481/2
प्रश्न 3. निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों में रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 4. A.P.: 3, 8, 13, 18, …… का कौन-सा पद 78 है?
प्रश्न 6. क्या A.P. : 11, 8, 5, 2 का एक पद -150 है? क्यों?
प्रश्न 7. उस A.P. का 31 वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11 वाँ पद 38 है और 16 वाँ पद 73 है।
प्रश्न 8. एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है। इसका 29 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 9. यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
प्रश्न 10. किसी A.P. का 17 वाँ पद उसके 10 वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11. A.P. : 3, 15, 27, 39, ….. का कौन-सा पद उसके 54 वें पद से 132 अधिक होगा?
प्रश्न 12. दो समान्तर श्रेढ़ियों का सार्वान्तर समान है। यदि इनके 100 वें पदों का अन्तर 100 है, तो इनके 1000 वें पदों का अन्तर क्या होगा?
प्रश्न 13. तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
प्रश्न 14. 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गणज हैं?
प्रश्न 15. n के किस मान के लिए, दोनों समान्तर श्रेढ़ियों 63, 65, 67, ….. और 3, 10, 17,…..के n वें पद बराबर होंगे?
प्रश्न 16. वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7 वाँ पद 5 वें पद से 12 अधिक है।
प्रश्न 17. A.P. : 3, 8, 13, ….., 253 में अन्तिम पद से 20 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 18. किसी A.P. के चौथे और 8 वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10 वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 19. सुब्बाराव ने 1995 में ₹ 5000 के मासिक वेतन पर कार्य आरम्भ किया और प्रत्येक वर्ष ₹ 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹ 7000 हो गया?
प्रश्न 20. रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹ 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹ 1.75 बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹ 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।
समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.3
प्रश्न 1. निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों का योग ज्ञात कीजिए :
(i) 2, 7, 12, ……., 10 पदों तक
(ii) -37, -33, -29, ….., 12 पदों तक
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, ……, 100 पदों तक
(iv) 1/15,1/12,1/10….., 11 पदों तक
प्रश्न 2. नीचे दिए हुए योगफलों को ज्ञात कीजिए :
(i) 7 + 1012 + 14 +…..+ 84
(ii) 34 + 32 + 30 +………+10
(iii) -5 + (-8) + (-11) + ….. + (-230)
प्रश्न 3. एक A.P. में,
(i) a = 5, d = 3 और an = 50 दिया है। n और Sn ज्ञात कीजिए।
(ii) a = 7 और a13 = 35 दिया है। d और S13 ज्ञात कीजिए।
(iii) a12 = 37 और d = 3 दिया है। n और S12 ज्ञात कीजिए।
(iv) a3 = 15 और S10 = 125 दिया है। d और a10 ज्ञात कीजिए।
(v) d = 5 और S9 = 75 दिया है। a और a9 ज्ञात कीजिए।
(vi) a = 2, d = 8 और Sn = 90 दिया है। n और an ज्ञात कीजिए।
(vii) a = 8, an = 62 और Sn = 210 दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।
(viii) an = 4, d = 2 और Sn = -14 दिया है। n और a ज्ञात कीजिए।
(ix) a = 3, n = 8 और S = 192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।
(x) l = 28, S = 144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 4. 636 योग प्राप्त करने के लिए A.P.: 9, 17, 25,….. के कितने पद लेने चाहिए?
प्रश्न 5. किसी A.P. का प्रथम पद 5, अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 6. किसी A.P. के प्रथम और अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वान्तर 9 है तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?
प्रश्न 7. उस A.P. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d = 7 है और 22 वाँ पद 149 है।
प्रश्न 8. उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमश: 14 और 18 हैं।
प्रश्न 9. यदि किसी A.P. के प्रथम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 10. दर्शाइए कि a1, a2,….., an,…..से एक A.P. बनती है, यदि an नीचे दिए अनुसार परिभाषित है :
(i) an = 3 + 4n
(ii) an = 9 – 5n
साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11. यदि किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग 4n – n2 है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात S1) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10 वें और nवें पद ज्ञात कीजिए
प्रश्न 12. ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हो।
प्रश्न 13. 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 14. 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 15. निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए, जुर्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है : पहले दिन के लिए ₹ 200, दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹ 300 इत्यादि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹ 50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता है?
प्रश्न 16. किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद पुरस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गई है। यदि प्रत्येक पुरस्कार अपने से ठीक पहले पुरस्कार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 17. एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कम करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ, कक्षा I का एक अनुभाग 1पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?
प्रश्न 18. केन्द्र A से प्रारम्भ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रों A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 cm, 1.0 cm, 1.5 cm, 2.0 cm, ….. वाले उत्तरोत्तर अर्द्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्द्धवृत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है?(π = 22/7) लीजिए। [संकेत : क्रमशः केन्द्रों A, B, A, B… वाले अर्धवृत्तों की लम्बाइयाँ l1, l2, l3, l4 हैं।
प्रश्न 19. 200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लढे, उससे अगली पंक्ति में 19 लटे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्टे, इत्यादि जैसा कि चित्र में प्रदर्शित है। ये 200 लटे कितनी पंक्तियों में रखे हुए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लढे हैं?
प्रश्न 20. एक आलू दौड़ (potato race) में, प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 मीटर की दूरी पर है तथा अन्य आलुओं को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 m की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गए हैं। जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
प्रत्येक प्रतियोगी बाल्टी से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाल्टी में न आ जाएँ। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
[संकेत : पहले और दूसरे आलुओं को उठाकर बाल्टी में डालने तक दौड़ी गई दूरी = 2 × 5 + 2 × (5 + 3) है।]
